定常ランクの交代行列のアフィン空間について

Fを体とし、n≥r>0を整数（rは偶数）とする。An⁡(F)をFの要素を持つすべてのn×n交代行列の空間とする。すべての行列がランクr（またはランクがr以上）であるアフィン部分空間の最大次元を決定する問題を考える。最近、Rubeiが定常ランクの斜対称行列のアフィン部分空間に関するこの問題を解決した。Linear Multilinear Algebra. 2023. in press. doi: 10.1080/03081087.2023.2198759。この結果を、十分に大きな基数を持つすべての体に拡張する。n≥r+3かつ|F|≥min(r−1,r2+2)である限り、An⁡(F)のランクr行列の、可能な最大次元を持つアフィン部分空間を決定し、n≤r+2の場合の対応する問題には困難があることを指摘する。