最適ラグランジュ補間射影子とレジェンドル多項式

KをRⁿ内の凸体とし、₁ (Rⁿ)を次数が最大1のn変数多項式の空間とします。一般位置にある(n+1)要素の集合Y Kが与えられた場合、PYをYのノードを持つラグランジュ補間射影子PY: C (K) ₁ (Rⁿ)とします。本論文では、最適ラグランジュ補間射影子のノルムの上限と下限を研究します。つまり、K内の補間ノードのすべての(n+1)要素の集合の上で最小オペレータノルムを持つ射影子を指します。この最小ノルムをₙ (K)と表記します。我々の主な結果、定理5.2は、任意の凸体K Rⁿおよび任意のnに対して定数ₙ (K)の具体的な下限を提供します。我々は、ₙ (K)がₙ^-1 ({ vol (K) }/{ simp (K) })であることを証明します。ここで、ₙは次数nのレジェンドル多項式であり、simp (K)はKに含まれる単体の最大体積です。この結果の証明は、特定の凸多面体の体積に関するレジェンドル多項式の幾何学的な特徴付けに依存しています。具体的には、全ての1に対して、集合\x= (x₁,. . . , xₙ) Rⁿ: |xⱼ| +|1- xⱼ|\の体積はₙ () /n!に等しいことを示します。Kがn次元の球体であれば、このアプローチはₙ (K)の同値へと導き、ₙ (K)の正確な公式が補完されます。Kがn次元の立方体であれば、定数ₙ (K)の上限と下限のための具体的効率的公式を得ます。さらに、小さなnの場合、これらの推定により、この定数の正確な値を計算できます。