非コンパクト型対称空間における関数的不等式とその応用

要旨 この論文の目的は、高ランクの非コンパクト型対称空間における関数的不等式の体系的な研究を開始することである。この研究の最初の主な目標は、非コンパクト型対称空間におけるリースポテンシャルに対するスタイン–ワイス不等式（重み付きハーディ–リトルウッド–ソボレフ不等式としても知られる）を確立することである。これは、対称空間におけるポリヘドラル距離を用いた基底球面関数の精巧な推定を行い、ルジャンスキーとヴェルマによって展開された積分ハーディ不等式と、アンカーとジによって取得された非コンパクト型の対称空間における鋭いベッセル–グリーン–リース核推定を組み合わせることで達成される。スタイン–ワイス不等式の結果として、非コンパクト型対称空間におけるハーディ–ソボレフ、ハーディ–リトルウッド–ソボレフ、ガリエルド–ニレーンベルクおよびカファレリ–コーン–ニレーンベルク不等式を導出する。論文の第2の主な目的は、前述の不等式の非線形PDEの研究における応用を示すことである。具体的には、ガリエルド–ニレーンベルク不等式が、対称空間におけるラプラス–ベルトラミ演算子に対する減衰および質量項を持つ半線形波動方程式の小データ全球存在結果を確立するために使用できることを示す。