複雑な幾何学におけるラプラシアンの効率的離散化

複雑な幾何学における二次導関数を含む問題の非常に高精度なシミュレーションは、学術界と産業界において主要な関心事です。例えば、ナビエ・ストークス方程式や音響波または弾性波の波動伝播問題を考えてみてください。現在の有限差分離散化手法は、最新のハードウェア上で正確かつ効率的ですが、複雑な幾何学に対しては柔軟性に欠けます。本研究では、連続的な部分和（SBP）フレームワークを二次導関数に拡張し、ガウス・ロバト距点でのスペクトル型SBP演算子と組み合わせて、複雑な領域におけるラプラシアンの非常に効率的な離散化（実行時間に対して正確）を実現します。その結果得られるラプラス演算子は、インターフェース上に重複した点のない格子で定義されており、したがってスキーム内の不必要な自由度を排除し、グリーンの第一同一式に対する離散的同等物を満たすことが証明されています。新しいラプラス演算子を使用した半離散的安定性が、2次元の音響波方程式に対して証明されます。さらに、この手法は、接着格子補間演算子を使用して従来の有限差分演算子と簡単に結合でき、実用的な可能性の大きい手法が実現されます。音響波方程式に関する2次元での2つの数値実験が実施されます。最初は解析解のある問題において、手法の精度と効率の特性を示します。最後に、複雑な領域を新しい手法を用いて離散化し、従来の有限差分法を使用して離散化された領域の残りと結合した、より現実的な問題が解かれます。