半直線上の離散ランダムウォークのスペクトル量子化と単位円上の直交多項式

要旨　本研究では、有限マルコフ連鎖のSzegedyの量子化に一致した半直線上の離散時間ランダムウォークの量子化スキームを定義します。-1から1の区間の測度に対して直交する多項式の観点から、離散時間ランダムウォークのKarlinとMcGregorの記述に動機付けられ、単位円上の直交多項式を用いて量子ウォークのユニタリ進化演算子を表現します。ランダムウォークの遷移確率と対応する量子ウォークの多項式のVerblunsky係数との関係を見つけます。両方の多項式系とその測度は古典的Szegö写像によって結びつけられていることを示します。私たちのスキームは任意のKarlinとMcGregorのランダムウォークに適用可能で、いわゆるCantero–Grünbaum–Moral–Velázquez法を一般化します。Jacobi多項式に関連するランダムウォークの例を用いてアプローチを示します。その後、対応する単位円上の多項式が2周期的な実Verblunsky係数を持つ遷移確率が一定のランダムウォークの量子化を研究します。一部として、一般複素数の場合におけるそのような多項式のスペクトルの幾何学的構成を提示し、Geronimus多項式に対する既知の構成を一般化します。付録では、任意の周期の係数を持つ実直線上の直交多項式と単位円上の直交多項式を第二種チェビシェフ多項式の観点から明示的に表現します。2010年数学主題分類。81P68, 05C81, 42C05, 94A11.