数についてのメモ

フェルマ数は、Fₙ=2^(2ⁿ)+1の形を持つ数であり、ここでnは整数で≥0です。フェルマ合成数（1または2または4を参照）は、素数ではないフェルマ数であり、フェルマ素数は素数のフェルマ数です。フェルマ合成数とフェルマ素数は、4および5での割り算を通じて特徴付けられます。すべてのj ∈ 0, 1, 2, 3, 4について、Fjはフェルマ素数であることが知られており（4を参照）、F5とF6がフェルマ合成数であることも知られています（2または3を参照）。本論文では、初等算術合同を通じて次の結果を示します（E.）。n > 0の任意の整数nについて、n ≡ 1 mod 2であれば、Fn-1 ≡ 4 mod 7です。また、n ≥ 2の任意の整数nについて、Fn-1 ≡ 1 mod jとなります、ここでj ∈ 3, 5です。結果（E.）は直ちに、2 + Fnの形を持つ合成数が無限に存在することを示唆します。結果（E.）はまた、4 + Fnの形を持つ素数は7だけであり、8 + Fnの形を持つ素数は双子素数の11と13だけであることも示唆します。つまり、結果（E.）とディリクレの定理の特別な場合を使用して、2 + Fnの形の素数が無限に存在することを推測することが自然である理由を説明します。