本稿では、既知の奇数正整数次数のリーマンゼータ関数の和の公式を実数次数 s > 1 に拡張するために、階乗をガンマ関数に一般化します。まず、実数次数の交互リーマン関数（ディリクレエータ関数）の積分表現を示し、その級数表現との同値性を厳密に証明します。この公式は偶数次数と奇数次数のケースを統一し、エータ関数、円周定数 π、およびベルヌーイ数との内在的な関係を明らかにします。さらに、この方法をパラメータを持つ交互ハーウィッツゼータ関数（ハーウィッツエータ関数）に系統的に一般化し、それに対応する急速収束級数表現を得ます。本稿は、収束解析や特別な値の検証を含む完全な数学的導出を提供します。数値実験は、提案された公式が超指数的収束を示すことを示しています：s > 2 の場合、通常は最初の 10 ～ 20 項だけで倍精度を達成するのに必要です；0 < s ≤ 1 の場合、公式は依然として有効であり、解析的継続に新しい視点を提供します。また、計算や応用におけるこれらの公式の潜在的な価値について詳細に議論し、リーマン–ジーゲル公式などの既存のアルゴリズムと比較します。本稿の主な革新点は、標準ゼータ関数から交互リーマン型関数への急速収束法を包括的に拡張し、高精度計算のための統一的な枠組みを提供することにあります。
シャファ・リウ（水曜日）はこの問題を研究しました。