素数に基づく演算子における二つのスペクトル領域：GUE統計、安定した相境界、およびTateの定理との関係

対称演算子Hを素数列上で考察し、対角要素をpₙ^{1/3}、非対角相互作用カーネルを|cos (π (ln pₘ - ln pₙ))| / √|m-n|と定義する。N=3000までの数値実験により、スペクトルに二つの異なる領域が存在することが明らかとなった：スペクトルの下位約75%はほぼ完全なGUEレベル排斥（小ギャップ率は約0.00〜0.03）を示し、上位約25%は古典的拡散（小ギャップ率約0.06〜0.09）を示す。これらの領域の境界はテストしたすべてのサイズで0.747±0.046で安定しており、素数に特有である：素数を滑らかな数列n ln(n)に置換するとこの境界は消失する。相互作用カーネルはpₘ/pₙの比にのみ依存し、これはQ*の軌道上でのTateのアデリックゼータ積分の離散化として自然な解釈を与える。リーマン予想の証明を主張するものではない。