Emergent MOND from eta(L): Deser-Levin modular length, the sqrt(2) factor, and a parameter-free mu function

Abstract (English) We derive mu (x) = x/ (1 + x) from the ansatz etaₑff (L) = etabar + (xi/4pi) L / l_*³ and Gₑff = 1/ (4 etaₑff), interpreting Gₑff (L) as a long-distance effective coupling, not as a variation of the local laboratory GN. In the static de Sitter patch, the Deser-Levin temperature fixes a modular length Lₑff = c² / sqrt (a² + aLambda²) with aLambda = c² / LdS = c HdS and HdS = H₀ sqrt (OmegaLambda, 0) in flat LambdaCDM. This predicts a₀ = sqrt (2) aLambda / (2pi) = 1. 218870 x 10^-10 m s^-2 using Planck 2018 as a cosmographic example. With a₀ fixed, the prediction reproduces the SPARC RAR, with 147 galaxies and 2696 points, with a scatter of 0. 136 dex. Resumen (Español) Derivamos mu (x) = x/ (1 + x) desde el ansatz etaₑff (L) = etabar + (xi/4pi) L / l_*³ y Gₑff = 1/ (4 etaₑff), interpretando Gₑff (L) como un acoplo efectivo de larga distancia, no como una variación del GN local de laboratorio. En el parche estático de de Sitter, la temperatura de Deser-Levin fija una longitud modular Lₑff = c² / sqrt (a² + aLambda²) con aLambda = c² / LdS = c HdS y HdS = H₀ sqrt (OmegaLambda, 0) en LambdaCDM plano. Esto predice a₀ = sqrt (2) aLambda / (2pi) = 1. 218870 x 10^-10 m s^-2 usando Planck 2018 como ejemplo cosmográfico. Con a₀ fijado, la predicción reproduce la RAR de SPARC, con 147 galaxias y 2696 puntos, con una dispersión de 0. 136 dex.