Dynamical properties of minimal Cantor systems

Bratteli-Vershiksysteme sind ein mächtiges Werkzeug um minimale Cantorsysteme zu repräsentieren und zu untersuchen. Die Darstellung von S-adischen Systemen als Bratteli-Diagramme sowie Resultate zur Existenz von Eigenwerten des Koopman-Operators und der Berechnung ergodischer Maße am Zustandsraum des Diagramms werden genutzt um Systeme aus der symbolischen Dynamik zu analysieren. Diese Dissertation enthält Resultate aus drei verschiedenen Publikationen: (i) Intervallverschiebeabbildungen (ITMs) sind eine Verallgemeinerung der Intervalltauschtransformationen (IETs). Bestimmte Familien der ITMs lassen eine Induktion, ähnlich der Rauzy-Induktion auf IETs, zu. Wir untersuchen die Bratteli-Vershik-Darstellung dieser Systeme nach schwacher Mischung und charakterisieren die Eigenschaft der linearen Rekursion in ITMs. (ii) Wir nutzen bekannte Ergebnisse über die Struktur von Bratteli-Diagrammen und der Trägermenge der ergodischen Maße um dynamische Systeme auf ihre maßtheoretische Rigidität zu untersuchen. Die Familie der Toeplitz-Systeme als `fast-periodische' Systeme eignet sich aufgrund der verschiedenen Ausprägungen vieler dynamischer Eigenschaften gut, um Beispiele zu konstruieren. Wir zeigen, dass nicht-rigide Toeplitz-Systeme ohne Entropie existieren und geben hinreichende Bedingungen für rigide Bratteli-Diagramme. (iii) Eine Beschleunigung eines dynamischen Systems (X, T) ist eine Abbildung T^p (x), die die Dynamik an verschiedenen Punkten in X verschieden stark beschleunigt. Wir beweisen, dass nicht jede Beschleunigung eines Toeplitz-System wieder ein Toeplitz-System ist. Unter hinreichenden Bedingungen bleibt die Toeplitz-Eigenschaft jedoch erhalten und das beschleunigte System ist konjugiert zu einer konstanten Beschleunigung. Ein zusätzlicher Teil der Dissertation beschäftigt sich mit IETs und ihrer Bratteli-Vershik-Darstellung. Wir untersuchen die Konjugationsabbildung, die minimalen und maximalen Pfade im Bratteli-Diagramm, die Häufigkeit linear-rekursiver IETs sowie die ergodischen Maße in der Bratteli-Vershik-Darstellung von Kreisrotationen.