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我々は、sₜが関数fの降下方向であり、wₜが決定論的または確率的誤差である勾配法 xₓ+₁=xₜ+ₜ (sₜ+wₜ) を考察します。fがリプシッツ連続であること、ステップサイズₜが0に収束すること、sₜとwₜが標準的な条件を満たすことを仮定します。我々は、f (xₜ) -またはf (xₜ)が有限値に収束し、確率1（確率的な場合）でf (xₜ) 0になることを示します。これにより、既存の結果で仮定されているいくつかの有界性条件、例えばfの下方有界性、f (xₜ) の有界性、またはxtの有界性を取り除きます。
Bertsekas et al. (Sat,) はこの問題を研究しました。