複素平面における分岐点と幾何学的位相

レーザー誘起縮退状態（LIDS）は、複素平面における分岐点（BPCP）のS行列の二重極と等価である。これらの分岐点は、特定のパラメータを変化させて閉回路内でアディアバティックにこれらを囲むことにより、幾何学的位相の変化を引き起こす。また、レベル反発に関連する特異点である二重点（DP）を囲むことによって現れるよく知られた位相変化も引き起こす。いずれの場合も、波動関数は、状態が交差を避けるパラメータの臨界値で、Phi(i) --> +/- iPhi(j (i 以外の j)) のように入れ替わる。このような臨界点は、DPを囲むことで2回通過するが、BPCPを囲むことで1回しか通過しない。その結果、位相変化は両ケースで異なる。二度の囲みが波動関数を復元し、両ケースで位相を含む（BPCPが他から十分に孤立していて、囲む時間が2つの状態の寿命より短い場合）。閉回路内で反対方向にLIDSをアディアバティックに囲む際に現れる異なる干渉パターンは、ベリーによる仕事の完成を表している。