그레이엄-슬로안의 조화로운 라벨링 추측에 대하여

차수 n의 아벨 군 G와 n개의 정점을 가진 트리 T를 고려하자. T의 모든 간선 xy를 따라 x+y의 합이 서로 다르도록 V(T)을 G로 (일대일로) 라벨링하는 것이 가능한 경우는 언제인가? 이 문제는 그레이엄과 슬로안의 조화로운 라벨링 추측에 대한 연구로 거슬러 올라가며, 1980년 도입 이후 광범위하게 연구되어 왔다. 우리는 모든 유계 차수 트리에 적용되는 정확한 특성화를 제공한다. 특히, 우리의 특성화는 G=Z/nZ이고 T가 유계 차수 트리일 때, 원하는 라벨링이 존재함을 의미한다. 이는 1980년 그레이엄과 슬로안의 추측과 1987년 창, 쉬, 로저스의 또 다른 추측을 유계 차수 트리에 대해 확인하는 것이다. 우리의 결과는 그래프 커버링 연구에 대한 추가적인 응용도 갖는다.