그래디언트 흐름의 에너제틱 변분 신경망 이산화

. 우리는 \ (L²\) -그래디언트 흐름을 해결하기 위한 구조 보존 유라리안 알고리즘과 일반화된 확산을 해결하기 위한 구조 보존 라그랑지안 알고리즘을 제시한다. 두 알고리즘 모두 공간 이산화를 위한 도구로 신경망을 사용한다. 기존의 대부분의 방법이 기저 PDE의 강한 형태 또는 약한 형태에 기반하여 수치적 이산화를 구성하는 것과 달리, 제안된 방법은 에너지 소산 법칙에 직접 기반하여 구성된다. 이는 시스템의 자유 에너지가 단조롭게 감소하도록 보장하여 비물리적 상태의 해를 피하고, 수치 계산의 장기적인 안정성에 필수적이다. 비선형 신경망 이산화에서 발생하는 문제를 해결하기 위해, 우리는 공간 이산화 전에 이러한 변분 시스템에 대한 시간 이산화를 수행한다. 이 접근법은 신경망 기반 알고리즘을 구현할 때 메모리 효율성이 뛰어나다. 제안된 신경망 기반 방법은 메시가 필요 없으며, 이를 통해 고차원에서 그래디언트 흐름을 해결할 수 있다. 다양한 수치 실험을 통해 제안된 수치적 방법의 정확성과 에너지 안정성을 입증한다. 키워드: 구조 보존, 그래디언트 흐름, 신경망, 에너지 안정성, 라그랑지안 체계, MSC 코드: 35K35, 35K55, 49J40, 65M06, 65M12