Gabcke에 의한 R (s)의 적분 표현

Gabcke는 보조 리만 함수 \ R (s) = 2^s/2^s/2e^ i (s-1) /4-₁₂₁₂ e^- i u²/2+ i u2i uU (s-12, 2^ i/4u) \, du에 대한 새로운 적분 표현을 증명했습니다. 여기서 U (, z)는 일반적인 포물선 실린더 함수입니다. 우리는 Mordell 적분을 사용하지 않는 새로운 짧은 증명을 제시합니다. 그리고 우리는 이를 방정식 R (s) = -2ˢ ^s/2e^ i s/4-^ e^- x²H-ₒ (x) 1+e^{-2 x}\, dx의 형태로 작성합니다. 여기서 H_ (z)는 일반화된 에르미트 다항식입니다.