분위수 위험 하의 최소 최대 선형 회귀

우리는 분위수 위험 하에서 최소 최대 절차를 설계하는 문제를 연구합니다. 우리는 독립적 가우시안 노이즈가 있는 실현 가능한 설정을 고려하는 것으로 시작하며, 주어진 노이즈 수준과 입력 분포에 대해, 풍부한 오차 함수 패밀리에 대한 정확한 최소 최대 분위수 위험을 얻고 OLS의 최소 최대성을 확립합니다. 이는 제곱 오차의 특별한 경우에 대한 알려진 하한을 개선하며, 더 큰 분포 집합에 대한 최소 최대 분위수 위험에 대한 하한을 제공합니다. 제곱 오차와 입력 분포에 대한 네 번째 모멘트 가정 하에서, 우리는 이 하한이 더 큰 문제 클래스에서 타이트하다는 것을 보여줍니다. 구체적으로, 우리는 최근 제안된 최소 최대 회귀 절차의 변형에 대한 최악의 경우 분위수 위험에 대한 일치하는 상한을 증명하여 절대 상수까지 그 최소 최대성을 확립합니다. 우리는 이 결과를 모든 p-th 거듭 제곱 오차 함수로 확장하여 우리의 접근 방식의 유용성을 설명합니다. 그 과정에서, 우리는 분위수 위험 작업 시 최소 최대 위험에 대한 하한을 구하는 고전적인 베이지안 방법에 대한 일반적인 유사체를 개발하고, 샘플 공분산 행렬의 가장 작은 고윳값의 분위수에 대한 타이트한 특성을 도출합니다.