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음속 기울기가 있는 반공간 위에 동일한 속도의 수층으로 구성된 파이프를 고려한다. 이러한 파이프에서 정상 모드의 수평 파수는 음 주파수, 수심, 바닥의 지오음향 매개변수에 따라 의존성을 가지며, 이러한 의존성이 매우 낮은 계산비용으로 수치적으로 해결할 수 있는 보통 미분 방정식으로 설명됨을 보여준다. 바닥 매개변수에 대한 수평 파수의 도함수에 대한 명시적 공식은 분산 기반의 지오음향 역산법에도 사용될 수 있다. 이 접근법은 여러 개의 에어리 타입 매체로 구성된 파이프의 경우로 확장될 수 있다. 또한, 이 파이프의 모드가 발견되는 슈툼-리우빌 문제의 스펙트럼은 순전히 불연속적이라는 새로운 간결한 증명을 제안한다.
Petrov et al. (Sun,) 이 문제를 연구하였다.