스칼라 곡률 하한과 정적 준국소 질량을 갖는 콤팩트 매니폴드의 경계 행동

Shi와 Tam의 고전적 결과에 따르면, 비부정 스칼라 곡률을 갖는 콤팩트 3-매니폴드를 경계하는 양의 가우스 곡률과 평균 곡률을 가진 2-구는 유클리드 3-공간에 대한 동형 임베딩의 총 평균 곡률보다 크지 않아야 하며, 이 참조 매니폴드의 영역에 대해서만 평등이 성립해야 한다. 우리는 -1보다 큰 가우스 곡률을 갖는 2-토리로 이 결과를 일반화하며, 이는 스칼라 곡률이 -6보다 크지 않고 '가두기 조건'을 만족하는 최소한 하나의 다른 경계 성분이 있는 콤팩트 3-매니폴드를 경계합니다. 결론은 총 가중 평균 곡률이 Kottler 매니폴드에 대한 동형 임베딩의 곡률보다 크지 않으며, 이 공간의 영역에 대해서만 평등이 성립한다는 것입니다. 보조 경계 성분의 가정은 제거될 수 없음을 보여주는 예가 제시됩니다. 이 결과는 스탠다드 브라운-요크 질량의 Shi-Tam 양성에 비유하여 토리를 위한 정적 브라운-요크 질량에 대한 양성 질량 정리를 제공합니다. 또한, 우리는 이 설정에서 페인로즈 유형의 불평등을 증명합니다.