임의의 메트릭 측정 공간 간의 준동형 맵의 풀백

우리는 메트릭 측정 공간 간의 모든(기하학적으로) 준동형 사상은 Gigli가 구축한 코탄젠트 모듈 간의 동형사를 유도한다는 것을 증명합니다. 우리는 먼저 바운드된 외부 비율을 가진 모든 연속 함수 φ가 Gigli의 코탄젠트 모듈 간의 풀백 맵 φ∗를 유도함을 보여주고, 그 결과적인 풀백 연산자의 함자적 성질을 증명하여 이를 얻습니다. 이러한 풀백은 Gigli–Pasqualetto–Soultanis에 의해 소개된 메트릭 값의 지역 Sobolev 맵을 위한 미분과 일관성이 있습니다. 우리는 PI 공간에 대해 Gigli와 Cheeger의 코탄젠트 모듈 간의 일관성을 사용하여, PI 공간 간의 준동형 사상이 Cheeger 차원의 차원을 보존함을 증명하여 Heinonen–Koskela–Shanmugalingam–Tyson의 이전 작업을 일반화합니다. 마지막으로, 만약 φ가 바운드된 외부 비율을 가진 주어진 준동형 사상이라면, φ−1도 바운드된 외부 비율을 가질 조건은 오직 φ∗가 가역적이고 φ−1이 Sobolev일 때뿐이라는 것을 보여줍니다. 유클리드 공간, 카르노 그룹 또는 보다 일반적으로 Ahlfors 정규 PI 공간의 설정과는 대조적으로, φ−1의 Sobolev 정규성을 별도로 가정해야 합니다.