초록 유니온 폐쇄 집합 추측(때때로 프랭클의 추측이라고도 불림)은 모든 유한하고 비자명한 유니온 폐쇄 집합족에는 그 구성원 중 적어도 절반에 포함된 요소가 존재한다고 명시하고 있습니다. 추측이 무한 세팅에서는 거짓인 것으로 알려져 있지만, 우리는 적절한 연쇄 조건을 부과하고 최적 요소라고 불리는 신중하게 선택된 요소를 고려함으로써 여전히 흥미로운 결과들을 회복할 수 있음을 보여줍니다. 우리는 이러한 요소를 사용하여 집합의 임의의 연쇄의 기수(Cardinality)가 최대 세 개인 유한 및 무한 유니온 폐쇄 집합족에 대해 유니온 폐쇄 추측이 성립함을 보여줍니다. 또한, 우리는 비자명한 위상 공간에 대해 열린 집합에 대한 내림차순 연쇄 조건을 만족하는 모든 경우에 추측이 성립함을 보여줍니다. 주목할 점은 이러한 주장은 기본 집합족이나 그 우주(universe)의 기수에 의존하지 않는다는 것입니다. 마지막으로, 우리는 추측의 결론을 만족하지만 반드시 유니온 폐쇄는 아닌 흥미로운 집합족의 클래스를 제공합니다.
코리 H. 콜벌트(월요일)는 이 질문을 연구하였습니다.