잘 연구된 복소 입방면의 모듈리 공간은 세 가지 서로 다른 그러나 동형인 구형 형태로 표현된다: GIT 몫으로서의 MGIT, 구 몫(B4/Γ)*의 Baily-Borel 평탄화, 그리고 K-모듈리 공간으로서의 평탄화. 세 관점 모두에서 비안정 면에 해당하는 독특한 경계 지점이 존재한다. GIT 관점에서 이 지점을 다루기 위해서는 Kirwan 부풀리기 Mk→MGIT를 고려하는 것이 자연스럽고, 구 몫 관점에서 보면 원환 평탄화 B4/Γ→(B4/Γ)*를 고려하는 것이 자연스럽다. 공간 MK와 B4/Γ는 동일한 코호몰로지를 가지므로, 이들이 동형인지 여부를 물어보는 것이 자연스럽다. 여기서 우리는 이는 실제로 그렇지 않다는 것을 보여준다. 실제로, 우리는 MK와 B4/Γ가 Grothendieck 링에서 동등하지만 K-동등하지 않다는 보다 세분화된 진술을 보여준다. 이 과정에서 우리는 Kirwan 부풀리기와 구 몫의 원환 평탄화를 다루기 위한 여러 결과와 기법을 수립한다.
Martin et al. (Sun,)은 이 질문을 연구하였다.