확장된 물리 정보 신경망(XPINNs): 비선형 편미분 방정식을 위한 일반화된 시공간 도메인 분해 기반 심층 학습 프레임워크

여기에서 우리는 임의의 복잡한 기하학적 도메인에서 비선형 편미분 방정식(PDE)을 해결하기 위해 물리 정보 신경망(PINNs)를 위한 일반화된 시공간 도메인 분해 접근 방식을 제안합니다. 제안된 프레임워크인 확장된 PINNs(XPINNs)는 보존 법칙에 맞춰진 PINN 프레임워크의 최근 제안된 도메인 분해 접근 방식인 보존 PINNs(cPINNs)뿐만 아니라 PINNs의 한계를 더욱 확장합니다. PINN에 비해 XPINN 방법은 작은 하위 도메인에 여러 신경망을 배포하는 고유한 특성 덕분에 큰 표현 능력과 병렬화 용량을 갖고 있습니다. cPINN과는 달리 XPINN은 모든 유형의 PDE로 확장할 수 있습니다. 게다가 도메인은 cPINN에서는 불가능한 임의의 방식(공간 및 시간)으로 분해될 수 있습니다. 따라서 XPINN은 공간 및 시간 병렬화를 제공하여 교육 비용을 더욱 효과적으로 줄입니다. 각 하위 도메인에서는 네트워크의 깊이/폭, 잔여 점의 수와 위치, 활성화 함수, 최적화 방법 등 최적으로 선택된 하이퍼파라미터를 가진 별도의 신경망이 사용됩니다. 복잡한 해를 가진 하위 도메인에는 심층 네트워크를 사용할 수 있고, 상대적으로 간단하고 부드러운 해를 가진 하위 도메인에는 얕은 신경망을 사용할 수 있습니다. 우리는 XPINN의 다재다능성을 1차원에서 3차원 문제, 시간 의존 문제에서 시간 독립 문제, 연속 문제에서 불연속 문제까지 해결함으로써 입증하며, 이는 XPINN 방법이 많은 실제 문제에서 유망하다는 것을 분명히 보여줍니다. 제안된 XPINN 방법은 적용 가능성과 도메인 분해 접근 방식 측면 모두에서 PINN 및 cPINN 방법의 일반화이며, 이는 효율적으로 병렬 컴퓨테이션에 적합합니다. XPINN 코드는 h t t p s : / / g i t h u b . c o m / A m e y a J a g t a p / X P I N N s 에서 사용할 수 있습니다.