완전 제곱수와 그 아래 가장 가까운 소수 사이의 간격: 로그 상한 추측

k(n)을 (n+1)² − k(n)이 소수가 되도록 하는 가장 작은 양의 정수로 정의하자. 우리는 k(n)의 산술 구조에 관한 두 가지 추측을 소개하고 수치적으로 조사한다. 첫 번째 추측은 연속적인 간격이 홀 수로 다르다고 명시한다: 모든 n ≥ 2에 대해 k(n+1) − k(n) ≡ 1 (mod 2). 두 번째, 주요 추측은 로그 상한을 주장한다: 모든 n ≥ 2에 대해 k(n) < 2ln(n+1)². 두 추측 모두 n ≤ 10⁶에 대해 검증되었다. 우리는 또한 k(n)에 대해 어떤 잔여 클래스가 허용되는지를 (n+1) mod 6에만 의존하여 완전히 특성화하는 정리도 증명하였다. 완전 제곱수 근처의 소수 존재를 주장하지만 간격을 정량화하지 않는 레종드르와 오퍼만의 추측과는 달리, 주요 추측은 각 완전 제곱수 아래에 보장된 소수를 포함하는 크기 2ln(n+1)²의 명확한 창을 제공한다. 수치적 증거는 sup₍≥₂ k(n)/2ln(n+1)² ≈ 0.9353, n = 28, 633에서 달성됨을 제안한다.