연산자 대수에서 조건부 기대값. IV. 엔트로피와 정보

소개. Shannon 23이 창시한 정보 이론은 Feinstein, Kullback, MacMillan, Wiener 및 기타 미국 통계학자들에 의해 발전되었으며(예: cf. 10), 또한 Gelfand, Khinchin, Kolmogorov, Yaglom 및 기타 러시아 확률학자들에 의해 에르고딕 이론으로 발전되었습니다(예: cf. 8). 최근 몇 년 동안 이 이론은 확률 이론의 새로운 장으로 여겨지고 있습니다. 최근 Segal 22은 정보 이론 및 양자 통계 이론의 경우를 모두 포함하는 폰 노이만 대수의 상태 엔트로피에 대한 수학적 형식을 제공하였습니다. Segal의 정리는 Nakamura와 Umegaki 16에 의해 연산자 대수적 형태로 다시 표현되었고, Davis 3에 의해 독립적으로도 연구되었습니다. 1954년 여름 이후로 Nakamura와 Umegaki는 폰 노이만 대수에서 조건부 기대값 개념을 비가환 확률 이론의 확장으로 조사하였으며(예: cf. 13~18 및 25~28), 가장 최근의 논문 18에서는 엔트로피와 정보 이론의 비가환 사례로 여겨지는 양자 통계의 측정 이론에 적용되었습니다. 더욱이, 기능적 분석 및 연산자 이론적 방법을 통해 정보 이론을 발전시키는 것은 매우 흥미로울 수 있습니다. 이러한 관점에서 우리는 적분 가능한 연산자 또는 폰 노이만 대수의 정상 상태의 정보 측정을 논의할 것입니다. Davis 3 또한 Nakamura-Umegaki 16 및 18과 거의 동일한 주제를 독립적으로 연구하였으며, 그 과정에서 그는 엔트로피 이론을 발전시켰고 연산자 엔트로피와 관련된 정리의 증명을 간소화하였습니다. 이제 기본 표기법을 제공하고 현재 논문 전반에 걸쳐 사용할 폰 노이만 대수의 기본 개념을 설명하겠습니다. A를 폰 노이만 대수라고 가정합시다. 즉, A는 복소 히버트 공간 H에서 작용하는 유계 연산자의 약한 폐쇄 자가-쌍대 대수이며, 항등 연산자 7을 포함합니다. A의 선형 함수 p는 모든 a ε A에 대해 p (aa*) ^ 0이면 양수라고 합니다. 이러한 p는 p (I) = 1인 경우 상태라고 하며, a aᵃ에 대해 p (aa) tp (a)인 경우 Dixmier 4의 용어로 정상이라고 하며, 모든 쌍 α, b ε A에 대해 p (ab) = p (ba)인 경우 추적이라고 합니다. 상태의 정상성은 완전 가산성과 동치입니다: Σ p (p a) = p (Σ Pa) 모든 비겹치는 projection p a aA에 대해 적용됩니다(예: Dixmier 4).