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우리는 반정적 프로그래밍(SDP) 및 고유값 최적화의 기하학에 대한 몇 가지 기본 결과를 도출합니다. 즉, 매끄러운 행렬값 함수의 k개의 가장 큰 고유값의 합을 최소화하는 것입니다. 우리는 SDP에서 극대 행렬의 계수에 대한 상한을 제시하고, 고유값 최적화에서 본질적으로 중요한 현상에 대한 이론적으로 확고한 첫 번째 설명을 제공합니다. 최적 행렬의 스펙트럼에서 k번째와 (k + 1)번째로 큰 고유값은 같아지는 경향이 있으며, 종종 다중성이 2보다 큽니다. 이 클러스터링은 직관적으로 그럴듯하며 1975년까지 관찰되었습니다. 행렬값 함수가 아핀일 때, 변수의 수가 충분히 크면 최적 솔루션 집합의 극대점에서 클러스터링이 발생해야 함을 증명합니다. 또한 임계 고유값의 다중성에 대한 하한을 제시합니다. 이러한 결과는 적절한 조건 하에 일반 행렬값 함수의 경우로 일반화됩니다.
Gábor Pataki (금요일)이 이 질문을 연구했습니다.