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측정 보존 변환(각각 위상 시스템)은 메트릭(각각 위상) 시퀀스 엔트로피가 모든 시퀀스에 대해 0이면 널(null)입니다. Kushnirenko는 에르고딕 측정 보존 변환이 이산 스펙트럼을 갖는 것은 오직 그것이 널일 경우에만 가능하다는 것을 보여주었습니다. 우리는 최소 시스템의 경우 이 진술이 거의 일대일 확장을 제외하고도 여전히 참임을 증명합니다. 이는 산란 시스템이 어떤 널 최소 시스템과도 분리되어 있음을 보여주는 데 도움이 됩니다. 게다가 널이 되기 위한 전이 비최소 시스템의 필수 조건도 도출됩니다. 시퀀스 엔트로피의 개념을 국소화하면서 우리는 시퀀스 엔트로피 쌍을 정의하고 모든 시스템에 대해 최대 널 인자를 가진다는 것을 보여줍니다. 한편, 우리는 약한 혼합 쌍이라는 약한 개념도 정의합니다. 시스템이 약하게 혼합되는 것은 오직 대각선에 있지 않은 어떤 쌍이 시퀀스 엔트로피 쌍이 되는 경우와 동일하게 약한 혼합 쌍의 경우에도 성립함을 알게 됩니다. 우리는 그룹 작용에 대해 지역적으로 근접한 관계를 포함하는 가장 작은 불변 동치 관계에 의해 유도된 인자가 균등 연속이라는 사실에 대한 직접적인 증명을 제공합니다. 또한 비균등 연속 최소 원거리 시스템은 널이 아님을 보여줍니다.
Huang et al. (Tue,)이 이 질문을 연구했습니다.