우리는 일부 연결이 무방향이고 다른 연결이 방향인 혼합 그래프로 작업합니다. 우리는 이들을 에르미트 인접행렬 및 에르미트 라플라시안으로 연구합니다. 이 행렬들은 기본 그래프와 방향을 모두 기록하며, 정점에서 '전환'할 때 고유값이 제어된 방식으로 변합니다. 혼합 그래프는 모든 방향-위상을 제거할 수 있는 전환이 가능하면 균형 잡힌 그래프라고 합니다. 우리는 그래프가 균형에 가까워지는 정도를 응력 매개변수로 측정합니다: 그래프를 균형 있게 만들기 위해 제거해야 하는 최소 정점이나 연결의 수입니다. 이러한 매개변수를 사용하여 연결된 비균형 혼합 그래프에 대해 가장 작은 에르미트 라플라시안 고유값의 명시적 상한을 제공합니다. 또한 최단 응력 사이클과 그 경계를 사용하여 이 고유값을 국소화하는 경계를 제공합니다. 우리는 독립 수를 연구합니다. 우리는 에르미트 행의 합이 일정하도록 얼마나 떨어져 있는지를 측정하는 분산 항을 추가하여 어떤 규칙성 가정 없이 작동하는 호프만형 상한을 증명합니다. 이 분산은 전환에 따라 변하므로, 좋은 전환을 선택함으로써 경계를 개선할 수 있습니다. 팔레이 유형의 예시는 결과적인 경계가 관성 경계보다 훨씬 강할 수 있음을 보여줍니다.
Abudayah et al. (금요일,) 이 질문을 연구했습니다.