무작위 효과 추정을 포함하기 위한 가우스-마르코프 정리의 확장

일반 혼합 선형 모형은 y = X + Zb로 쓸 수 있으며, 여기서 는 고정 효과의 벡터이고 b는 무작위 변수의 벡터입니다. E(b) = 0이고 Var(b) = ²D이며 D가 알려져 있다고 가정합니다. ₁' + ₂'의 추정을 고려하는데, 여기서 ₁'는 추정 가능하며 b의 실현되었지만 관찰할 수 없는 값입니다. 선형 추정량 c + r'y 중에서 E(c + r'y) = E(₁' + ₂'b)이고 평균 제곱 오차 E(c + r'y - ₁' - ₂'b)²가 최소화됩니다. 이때 = DZ'V^\#(y - X), = (X'V^\#X) - X'V^\#y이고, V^\#는 Zyskind-Martin 클래스에 속하는 V = ZDZ'의 모든 일반화된 역행렬입니다. 를 통해 특정 선형 시스템의 해에서 이 값을 계산할 수 있으며, 이렇게 하는 것은 ANOVA 모형과 관련된 구조를 계산 목적으로 활용하는 데 도움을 줍니다. 이러한 결과는 가우스-마르코프 정리를 확장합니다. 이 결과는 특정 베이지안 설정에서도 적용될 수 있습니다.