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열 커널의 자취와 일반 미분 연산자에 대한 일루프 유효작용이 배경 곡률인 리만 곡률, 고전자 곡률 및 잠재력에 대해 세 번째 차수까지 계산된다. 유효작용의 경우, 이는 중력장 모델의 모든 에너지 점에서 일루프 정점(공변 형식에서)의 계산과 동등하다. 곡률에서 세 번째 차수의 비국소 불변 기초가 구축되며, 저차원 다양체에서 이러한 불변 간의 제약이 얻어진다. 열 커널과 유효작용의 모든 세 번째 차수의 형태 인자가 계산되며, 이를 위한 여러 적분 표현이 도출된다. 유효작용의 경우, 이는 기대값 방정식에 적용되는 특별히 일반화된 스펙트럴 표현을 포함한다. 열 커널에 대한 결과는 a₃ 및 a₄의 세제곱 항을 포함한 슈윙거-드비트 전개에서 알려진 모든 계수를 유도하여 확인된다. 유효작용에 대한 결과는 2차원 및 4차원에서 자취 이상을 유도하여 확인된다. 4차원에서는 여러 다른 기술을 사용하여 국소적인 이상이 비국소 작용에서 발생하는 기전을 설명한다. 2차원에서는 유효작용의 급수가 곡률에서 두 번째 차수에서 종료됨을 직접 계산을 통해 보여준다. 형태 인자의 비대칭 거동이 계산되며, 열 커널의 늦은 시간 거동과 유효작용의 작은 거동이 포함된다. 양자 중력에서는 후자의 거동이 호킹 효과를 포함한 진공 복사 효과를 포함한다.
Barvinsky 외 (금요일)는 이 문제를 연구하였다.