확률 밀도 함수 및 그 도함수의 추정

X₁, X₂를 공통 확률 밀도 함수 f를 가지는 독립 동일 분포 랜덤 변수라고 하자. Rosenblatt에 의해 X₁, , Xₙ에 기초한 f의 커널 클래스 추정 fₙ이 도입된 이후, 이 추정들의 다양한 수렴 속성이 연구되었다. 이 방향에서 가장 강력한 결과는 Nadaraya에 의해 주어졌는데, 그는 f가 일관되게 연속이면 큰 클래스의 커널에 대해 추정 fₙ이 실수 전체에서 f에 대해 거의 확실히 일관되게 수렴함을 증명했다. 매우 일반적인 커널 클래스에 대해, 우리는 f에 대한 위 가정이 이런 종류의 수렴을 위해 필수적이라는 것을 보여줄 것이다. 즉, 만약 fₙ이 함수 g에 대해 거의 확실히 일관되게 수렴한다면, g는 일관되게 연속적이어야 하고 우리가 샘플링하고 있는 분포 F는 F' (x) = g (x) 어디에서나 절대 연속적이어야 한다. 위에서 언급한 조건 외에 f와 그 첫 번째 r + 1 도함수가 한계가 있다고 가정할 경우, s = 0, 1, , r에 대해 f^ (s) ₙ이 f^ (s)에 대해 거의 확실히 주어진 속도로 일관되게 수렴하도록 추정 fₙ을 구성하는 방법을 보여줄 수 있다.