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환은 모든 원소가 교환 가능한 idempotent와 단위의 합일 때 강하게 깨끗하다고 불린다. 이러한 환은 강하게 π-정규 환의 자연스러운 일반화로 나타나며, 강하게 π-정규 환의 여러 속성이 확장되고, 피팅의 렘마와의 관계가 포함된다.
W. K. Nicholson (금,)이 이 질문을 연구하였다.