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우리는 거칠은 (L^) 계수를 가진 PDE를 위한 거의 선형 복잡성(기하학적 및 메쉬리스/대수적) 다중 그리드/다중 해상도 방법을 도입하며, 이는 엄격한 사전 정확도 및 성능 추정치를 제공합니다. 이 방법은 (1) 제한 및 보간 연산자를 식별하는 문제, (2) 선형 연산자 하에서 이미지에 대한 노름 제약을 기반으로 불완전한 측정으로부터 신호를 복구하는 문제, (3) 솔루션의 계층적 측정을 기반으로 PDE의 해값에 대한 도박을 하는 문제의 결정/게임 이론 공식화를 통해 발견되었습니다. 결과적으로 생성된 기본 도박은 H¹₀()의 (결정론적) 기저 함수 계층을 형성하며, 이는 (1) PDE의 에너지 노름에 의해 유도된 스칼라 곱에 대해 서브스케일/서브밴드 간에 직교하고, (2) H¹₀()에서 솔루션 공간의 희소 압축을 가능하게 하며, (3) 직교 다중 해상도 연산자 분해를 유도합니다. 다중 그리드 방법의 작동 다이어그램은 도박이 지역적으로(지수 감소의 덕분에) 및 계층적으로(세밀한 것에서 거친 것으로) 계산되는 inverted pyramid 형태이며, PDE는 균일하게 제한된 조건 수를 가진 독립 선형 시스템의 계층으로 분해됩니다. 결과적인 알고리즘은 공간(지역화로 인해)에서나 대역폭/서브스케일(서브스케일은 서로 독립적으로 계산할 수 있음)에서 병렬화 가능합니다. 이 방법은 결정론적이지만, 정보 게임 공식화에서 발생하는 확률 측정(혼합 전략으로) 하에 자연스러운 베이지안 해석을 갖고 있으며, 다중 해상도 근사치는 계층적 중첩 측정에 의해 유도되는 필터링에 관한 마틴게일을 형성합니다.
Houman Owhadi (Sun,)이 이 질문을 연구했습니다.