많은 자연 및 인공 시스템은 경계 구조와 부피 구조 간의 근본적인 관계를 나타냅니다. 기하학에서는 이것이 표면-부피 비율로 나타나고, 물리학에서는 표면 장력과 에너지 최소화를 통해, 프랙탈에서는 크기 조정 차원을 통해, 머신 러닝에서는 잠재 공간의 기하학을 통해 나타납니다. 이러한 시스템은 서로 다르지만, 경계 측정 A, 부피 측정 V, 유효 차원 함수 N이라는 세 가지 기본 양을 공유합니다. 이는 D. Pivec (2026)의 경계-부피 함수에서 처음으로 정식화된 일반화된 정상화 경계 밀도를 도입하게 만든 동기입니다. 이 문서에서는 정확한 구형 비례 법칙을 유도하고, 등둘레 최적성을 증명하며, 물리적 해석을 제공하여 그 프레임워크를 확장합니다.
다보린 피벡(Davorin Pivec)은 이 질문을 연구했습니다.