고차원 군집화 및 관련 문제에 대한 위상 전이

두 클래스 군집화 문제를 고려해 보자. 여기서 우리는 X₈=₈+Z₈를 관찰하며, Z₈i는 독립적으로 분포하며 N(0, I₏)을 따른다. 특징 벡터 R^p는 알려져 있지 않지만 추정상 희소할 것이라고 가정한다. 클래스 레이블 ₈\-1, 1\ 또한 알려져 있지 않으며, 주요 관심사는 이들을 추정하는 것이다. 우리는 통계적 한계에 관심이 있다. 유용한 특징의 희소성과 강도를 조정하는 이차원 위상 공간에서, 우리는 불가능 영역과 가능 영역을 위한 정확한 경계를 찾는다. 전자에서는 유용한 특징이 성공적인 군집화를 위한 충분히 희귀하거나 약하다. 후자에서는 유용한 특징이 성공적인 군집화를 가능하게 할 만큼 강하다. 결과는 실험 비교에 대한 Le Cam의 아이디어를 사용하여 색 노이즈의 경우로 확장된다. 또한 군집화를 위한 통계적 한계에 대한 연구를 신호 복구 및 전 세계 테스트에 대한 연구로도 확장한다. 우리는 세 가지 문제에 대한 통계적 한계를 비교하며 흥미로운 통찰력을 드러낸다. 우리는 군집화를 위해 고전 PCA와 중요한 특징 PCA (IF-PCA)를 제안한다. 임계값 t>0에 대해, IF-PCA는 L^2-노름이 t보다 큰 X의 모든 열에 고전 PCA를 적용하여 군집화한다. 우리는 또한 두 가지 집계 방법을 제안한다. 가능 영역의 어떤 매개변수에 대해서는 이러한 방법들 중 일부가 성공적인 군집화를 생성한다. 우리는 IF-PCA에 대한 위상 전이를 발견한다. 임계값 t>0에 대해, ^ (t)를 선택된 데이터 행렬의 첫 번째 좌측 특이 벡터로 두자. 위상 공간은 두 개의 다른 영역으로 분할된다. 한 영역에서는 t가 있어 (^ (t), ) 1이고 IF-PCA가 성공적인 군집화를 생성한다. 다른 영역에서는 (^ (t), ) c₀0이 된다. 우리의 결과는 세밀한 분석을 필요로 하며, 특히 선택 후 랜덤 행렬 이론과 하한 인수에 대한 주장이 필요하다.