Multiplicación aproximada de matrices tensoriales basada en el filtrado individual de factores

Se proponen algoritmos para el cálculo aproximado del producto matricial C ≈ C = A · B, donde las matrices A y B se dan por sus descomposiciones tensoriales en formato canónico o Tucker de rango r. La matriz C no se calcula como un arreglo completo; en su lugar, se representa primero mediante una descomposición similar con un rango redundante y luego se reaproxima (comprime) dentro de la precisión prescrita para reducir el rango. Los algoritmos de reaproximación disponibles aplicados al problema anterior requieren que se almacene un arreglo que contenga r 2d elementos, donde d es la dimensión del espacio correspondiente. Debido a las limitaciones de memoria y velocidad, estos algoritmos son inaplicables incluso para los valores típicos d = 3 y r ∼ 30. En este documento, se proponen métodos que aproximan los factores de modo de C utilizando criterios de precisión elegidos individualmente. Como aplicación, se calcula el potencial de Coulomb tridimensional. Se muestra que los métodos propuestos son eficientes si r puede ser tan grande como varios cientos y la reaproximación (compresión) de C tiene baja complejidad en comparación con el cálculo preliminar de los factores en la descomposición tensorial de C con un rango redundante.