Formas normais para operadores diferenciais ordinários, I

Neste artigo, desenvolvemos a teoria de Schur generalizada apresentada no recente artigo do segundo autor no caso de dimensão um, e a aplicamos para obter duas aplicações em direções diferentes de álgebra/geometria algébrica. A primeira aplicação é uma nova parametrização explícita de feixes de posto um livres de torsão em curvas irredutíveis projetivas com grupos de cohomologia nula. A segunda aplicação é um critério de comutatividade para operadores na álgebra de Weyl ou, de forma mais geral, no anel de operadores diferenciais ordinários, que provamos no caso em que os operadores têm uma forma normal com a restrição da linha superior (para detalhes, veja a Introdução). Ambas as aplicações são obtidas com a ajuda de formas normais. Ou seja, considerando o anel de operadores diferenciais ordinários D₁=K[x] como um subanel de um certo anel não comutativo completo D₁^sym, as formas normais dos operadores diferenciais mencionados aqui são obtidas após conjugação por algum operador invertível ("operador de Schur"), calculadas usando um dos operadores em um anel. As formas normais de operadores comutantes são polinômios com coeficientes constantes nos operadores de diferenciação, integração e translação, que têm uma ordem finita em cada variável, e podem ser calculadas de forma eficaz para quaisquer operadores comutantes dados.