작은 합집합을 가진 집합의 수에 대하여

임의의 아벨 군에서 작은 합집합을 가진 부분집합을 조사합니다. 아벨 군 G와 n-원소 부분집합 Y G에 대하여, 만약 m s²/ (n) ²라면 |A| = s이고 |A + A| m인 부분집합 A Y의 수는 최대로 \2^o (s) m+{2}s입니다. 여기서 는 크기가 (1+o (1)) m 이하인 G의 가장 큰 부분군의 크기입니다. 이 경계는 Z 및 기타 많은 그룹에 대해 날카롭습니다. 우리의 결과는 Campos의 결과를 개선하며 Alon, Balogh, Morris, Samotij의 추정치의 남은 간극을 거의 메웁니다. 또한 |A| = s이고 |A + A| m인 균일하게 선택된 임의 집합 A \1, , n\의 행동을 탐구합니다. m s²/ (n) ²라는 동일한 가정 하에 높은 확률로 크기가 최대로 m/2 + o (m)인 산술급수 P Z가 존재하여 A의 o (s) 요소를 제외한 모든 요소를 포함함을 보여줍니다. 대칭이 아닌 합집합에 대해서도 유사한 결과가 얻어지며, Campos, Coulson, Serra, W\"otzel의 결과를 개선합니다. 우리의 증명의 주요 도구는 그래프 컨테이너 정리에 비대칭 하이퍼그래프 컨테이너 정리의 변형을 결합한 것입니다.