Fₙ을 수체계 F에 대한 GLₙ의 단위 쌍곡선 자동형 표현의 집합이라고 하고, Sₙ을 임의의 유한 부분집합이라고 하자. π₀₍䃐에 대해, 일반화된 라마누잔 추측으로의 진행과는 독립적으로, \L (s, π) π S\와 \L (s, ππ₀) π S\ 가족에 대한 대체망 불평등을 확립한다. 또한 짧은 합의 자명한 경계를 개선하는 첫 번째 결과를 제공한다. 여러 응용을 제시하는데, 여기에는 (1) 임의의 S에 대해 적용되는 ⏟ ₒ|L (12, π) |²의 가장 강력한 경계, (2) 자동형과 랭킨--셀버그 L-함수의 가족에 대한 제로 밀도 추정의 중요한 개선, Re (s) =1 부근의 일반화된 리만 가설에 대한 위반 수 카운트, (3) Brumley, Thorner 및 Zaman이 입증한 랭킨--셀버그 L-함수 가족에 대한 조건부 로그-프리 제로 밀도 추정에서 모든 증명되지 않은 가설의 제거, (4) Lichtman과 Pascadi에 의해 이루어진 비아르키메데안 랑글랜스 매개변수에 대한 밀도 정리의 개선은 일반화된 라마누잔 추측에 대한 위반 수를 세는 것이다.
Pascadi 외 (수요일)가 이 문제를 연구했다.