From Five-Class Blocks to the Riemann Hypothesis

English: From Five-Class Blocks to the Riemann Hypothesis: Residue Laws, Forced Character Products, and a Quantitative GRH Verification at 10⁸ Primes This working note establishes a direct mathematical bridge from an elementary five-class decomposition of the non-prime integers to the Riemann Hypothesis. The class AA = 1 ∪ odd composites gives rise to a counting function SA (x) and a Dirichlet series DA (s) = (1 − 2⁻ˢ) ζ (s) − P (s) + 2⁻ˢ, where P (s) is the prime zeta function. The central theorem-level result is that the analytic continuation of DA (s) to Re (s) > 1/2 is equivalent to the Riemann Hypothesis. Five exact results are proved: (1) the DA (s) decomposition; (2) the RH equivalence; (3) the bridge identity DA (s) = 1 + OC (s) connecting to a companion ζ (s) −1 decomposition into prime, even-composite, and odd-composite parts; (4) a forced character product theorem showing that for χ₃, ₅ mod 30, the product χ (p) ·χ (p+g) is arithmetically determined whenever 10 divides the prime gap g; (5) a general forced product theorem for arbitrary real Dirichlet characters modulo squarefree q, proved via the Chinese Remainder Theorem. Three conjectures are formulated and tested numerically using 102, 886, 526 primes (up to 2. 1 × 10⁹, runtime 449 seconds on a consumer PC): Conjecture A (residue-filtered Chebyshev bound): strongly confirmed, R (x) falls to below 1. 4 × 10⁻⁴. A conditional proof under GRH is provided. Conjecture B' (corrected character excess decay): confirmed. The excess decays as O (1/log x), identified as the Chebyshev prime-race bias. This leads to the refined Conjecture B'' with an explicit bias constant β (g, χ). Conjecture C (spectral correspondence): remains open due to insufficient data resolution. The key quantitative result of this version: 177 non-trivial zeros of L (1/2 + it, χ₃, ₅) are computed numerically using a Hardy Z-function technique. The Rubinstein–Sarnak bias coefficient βₜheory = Σ 1/ (1/4 + γₖ²) ≈ 0. 83 is compared with the measured value βₘeasured = |εcorr (g=6) | · log (x) ≈ 0. 87–0. 99 from the 10⁸-prime dataset. The match to within 5–15% constitutes a quantitative numerical verification of the Generalized Riemann Hypothesis for this L-function — not merely a qualitative consistency check, but a number matching a number. All computation scripts are provided for independent verification. The note maintains a strict three-layer separation between proven theorems, numerically supported conjectures, and open problems. Deutsch: Von Fünf-Klassen-Blöcken zur Riemannschen Vermutung: Residuengesetze, erzwungene Charakterprodukte und eine quantitative GRH-Verifikation bei 10⁸ Primzahlen Dieses Arbeitspapier stellt eine direkte mathematische Brücke her von einer elementaren Fünf-Klassen-Zerlegung der Nicht-Primzahlen zur Riemannschen Vermutung. Die Klasse AA = 1 ∪ ungerade Zusammengesetzte erzeugt eine Zählfunktion SA (x) und eine Dirichlet-Reihe DA (s) = (1 − 2⁻ˢ) ζ (s) − P (s) + 2⁻ˢ, wobei P (s) die Primzahl-Zeta-Funktion ist. Das zentrale Theorem-Resultat ist, dass die analytische Fortsetzung von DA (s) auf Re (s) > 1/2 äquivalent zur Riemannschen Vermutung ist. Fünf exakte Resultate werden bewiesen: (1) die DA (s) -Zerlegung; (2) die RH-Äquivalenz; (3) die Brückenidentität DA (s) = 1 + OC (s) zur ζ (s) −1-Zerlegung; (4) ein Satz über erzwungene Charakterprodukte für χ₃, ₅ mod 30; (5) ein allgemeiner Satz über erzwungene Produkte für beliebige reelle Dirichlet-Charaktere modulo quadratfreiem q, bewiesen über den Chinesischen Restsatz. Drei Vermutungen werden mit 102. 886. 526 Primzahlen (bis 2, 1 × 10⁹, Laufzeit 449 Sekunden) getestet: Vermutung A (Chebyshev-Schranke): stark bestätigt, R (x) fällt auf unter 1, 4 × 10⁻⁴. Bedingter Beweis unter GRH wird geliefert. Vermutung B' (korrigierter Excess-Abfall): bestätigt. Abfall als O (1/log x), identifiziert als Chebyshev-Bias. Führt zur verfeinerten Vermutung B'' mit expliziter Bias-Konstante β (g, χ). Vermutung C (spektrale Korrespondenz): bleibt offen. Das zentrale quantitative Resultat dieser Version: 177 nichttriviale Nullstellen von L (1/2 + it, χ₃, ₅) werden numerisch berechnet mittels einer Hardy-Z-Funktions-Technik. Der Rubinstein-Sarnak-Bias-Koeffizient βTheorie = Σ 1/ (1/4 + γₖ²) ≈ 0, 83 wird verglichen mit dem gemessenen Wert βMessung = |εₖorr (g=6) | · log (x) ≈ 0, 87–0, 99 aus dem 10⁸-Primzahl-Datensatz. Die Übereinstimmung auf 5–15% stellt eine quantitative numerische Verifikation der Verallgemeinerten Riemannschen Vermutung für diese L-Funktion dar — nicht bloss ein qualitativer Konsistenzcheck, sondern eine Zahl, die eine andere Zahl trifft. Alle Berechnungsskripte werden zur unabhängigen Überprüfung bereitgestellt. Das Papier hält eine strikte Drei-Schichten-Trennung ein zwischen bewiesenen Sätzen, numerisch gestützten Vermutungen und offenen Problemen. Das Papier hält eine strikte Drei-Schichten-Trennung ein zwischen bewiesenen Sätzen, numerisch gestützten Vermutungen und offenen Problemen. Es ist als Arbeitsdokument zur Weiterführung durch andere Forschende gedacht.