A Recursive Method for Constructing Magic Hypercubes of Arbitrary Order and Dimension with Complete Fractal Nesting / Рекурсивный метод построения магических гиперкубов произвольного порядка и размерности с полной фрактальной вложенностью

A unified recursive method is proposed for constructing magic hypercubes in d-dimensional space for any order n ≥ nbase, where nbase = 3 for d = 2 and nbase = 2ᵈ for d ≥ 3. The elements form an arbitrary arithmetic progression with first term a ∈ R and common difference δ ∈ R \ 0. The key feature of the method is complete fractal nesting: every sub-hypercube aligned with the recursive partition grid at any hierarchy level is itself a magic construction. When nasik base templates are used, the resulting construction is nasik in the strict sense of Planck and Hendricks (all lines of all directions through each cell). The method is universal, mathematically rigorous, and computationally efficient even for very large orders and high dimensions: the value of any single element is computable in O (t) operations, where t is the recursion depth, without building the whole construction. Changes in version 3. 0: the base order for nasik constructions is corrected to nbase = 2ᵈ; the notation is standardized (common difference δ) ; the strict nasik definition (Planck/Hendricks) is clarified; computational complexity analysis and a parallel-construction mode are added. The Russian and English versions of the article are provided as separate PDF files. Supplementary numerical materials (verified magic squares for d = 2 and magic cubes for d = 3, including the order-64 nasik cube) are provided in two archives, in human-readable XLSX (Russian set) and machine-readable CSV (English set) formats. — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Предлагается единый рекурсивный метод построения магических гиперкубов в d-мерном пространстве для любого порядка n ≥ nbase, где nbase = 3 при d = 2 и nbase = 2ᵈ при d ≥ 3. Элементы образуют произвольную арифметическую прогрессию с первым членом a ∈ R и разностью δ ∈ R \ 0. Ключевая особенность метода — полная фрактальная вложенность: каждый подгиперкуб, выровненный по сетке рекурсивного разбиения, на любом уровне иерархии сам является магической конструкцией. При использовании насик-шаблонов результат является насиком в строгом смысле Планка и Хендрикса (все линии всех направлений через каждую ячейку). Метод универсален, математически строг и вычислительно эффективен даже для больших порядков и высоких размерностей: значение любого отдельного элемента вычисляется за O (t) операций (t — глубина рекурсии) без построения всей конструкции. Изменения в версии 3. 0: исправлен базовый порядок для насик-конструкций (nbase = 2ᵈ) ; унифицировано обозначение разности (δ) ; уточнено строгое определение насик; добавлены анализ вычислительной сложности и режим параллельного построения. Русская и английская версии статьи приведены отдельными PDF-файлами. Дополнительные численные материалы (проверенные квадраты для d = 2 и кубы для d = 3, включая насик-куб порядка 64) приведены в двух архивах: в наглядном формате XLSX (русский комплект) и машиночитаемом CSV (английский комплект).