Na equação de Klein-Gordon, os parâmetros quânticos e relativísticos estão intrinsecamente acoplados, o que complica a consideração direta das flutuações quânticas. Neste artigo, o chamado Sistema Hidrodinâmico Quântico Relativístico é derivado da equação de Klein-Gordon com efeitos de Poisson, por meio da transformação de Madelung, fornecendo uma nova perspectiva para a análise dos limites singulares, como os limites semi-clássicos e não-relativísticos. O Sistema Hidrodinâmico Quântico Relativístico, quando o limite semiclassico é considerado, reduz-se formalmente ao Sistema Hidrodinâmico Relativístico. Quando o limite relativístico é tomado, reduz-se formalmente ao Sistema Hidrodinâmico Quântico. Além disso, estabelecemos as soluções clássicas locais para o problema de Cauchy associado ao Sistema Hidrodinâmico Quântico Relativístico. O valor inicial da densidade é assumido como uma pequena perturbação de algum estado constante, mas os outros valores iniciais não requerem essa restrição. O ponto-chave é que o Sistema Hidrodinâmico Quântico Relativístico é reformulado como um sistema acoplado hiperbólico-elliptico.
Duan et al. (Sex,) estudaram essa questão.