Rigididade isométrica dos espaços de Wasserstein sobre esferas euclidianas

Estudamos a estrutura das isometrias do espaço quadrático de Wasserstein W2(Sn,‖⋅‖) sobre a esfera dotada da distância herdada da norma de Rn+1. Provamos que W2(Sn,‖⋅‖) é isometricamente rígido, o que significa que seu grupo de isometrias é isomórfico ao de (Sn,‖⋅‖). Isso contrasta de maneira impressionante com a não-rigidez de seu espaço ambiente W2(Rn+1,‖⋅‖), mas está em linha com a rigidez do espaço geodésico W2(Sn,∢). Um dos passos-chave da prova é o uso de funções de erro quadrático médio para imitar a interpolação de deslocamento em W2(Sn,‖⋅‖). Uma dificuldade maior em provar a rigidez para espaços quadráticos de Wasserstein é que não se pode usar a técnica de potencial de Wasserstein. Para ilustrar seu poder geral, utilizamos isso para provar a rigidez isométrica de Wp(S1,‖⋅‖) para 1≤p<2.