Colando pequenos buracos negros ao longo de geodésicas temporais II: análise uniforme em espaços-tempos colados

Dada uma espaçotempo suave globalmente hiperbólico (3+1) -dimensional (M, g) que satisfaz as equações do vácuo de Einstein (possivelmente com constante cosmológica) e uma geodésica temporal inextendível C, construímos na Parte I uma família de métrica g_ no complemento M_ M de uma vizinhança -neighborhood de C com o seguinte comportamento: longe de C tem-se g_ g como 0, enquanto a ^-1-redimensionamento de g_ em torno de cada ponto de C tende a uma métrica de Kerr subextremal fixa; e g_ resolve a equação do vácuo de Einstein módulo erros O (^) . O objetivo final, alcançado na Parte III, é corrigir g_ para uma solução verdadeira em qualquer subconjunto pré-compato fixo de M pela adição de uma perturbação métrica de tamanho O (^) que precisa satisfazer uma equação de onda quasilinear (as equações do vácuo de Einstein em uma gauge adequada). O presente artigo estabelece as fundações analíticas necessárias. Desenvolvemos uma estrutura para provar estimativas para soluções de equações de onda (tensorial) em (M_, g_) que, em uma escala adequada de espaços de Sobolev, são uniformes em subconjuntos pré-compatos independentes de - do espaçotempo original M. Essas estimativas são provadas combinando dois ingredientes: a teoria espectral para a correspondente equação de onda em Kerr; e estimativas microlocais uniformes que governam a propagação de regularidade através do pequeno buraco negro, incluindo estimativas radiais de pontos que lembram a difração por singularidades cônicas e estimativas de longo prazo próximas a perturbações de conjuntos aprisionados normalmente hiperbólicos. Como uma ilustração dessa estrutura, construímos soluções de uma equação de onda escalar não linear de brinquedo em (M_, g_) para escalas de tempo uniformes e com controle total em todos os regimes assintóticos como 0.