Uma abordagem de espaço de Hilbert com núcleo reprodutor para modelos de volatilidade estocástica local singular McKean–Vlasov

Resumo Motivados pelos desafios relacionados à calibração de modelos financeiros, consideramos o problema de resolver numericamente uma equação McKean–Vlasov singular d Xₓ= (t, Xₓ) Xₓ vₓ{Evₓ|Xₓ}dWₓ, d Xt = σ (t, Xt) Xt v t E v t | Xt d W t, onde W é um movimento Browniano e v é um processo de difusão adaptado. Esta equação pode ser considerada um modelo de volatilidade estocástica local singular. Embora tais modelos sejam bastante populares entre os praticantes, sua bem-posta não foi infelizmente totalmente compreendida e, em geral, pode não ser garantida. Desenvolvemos uma nova abordagem de regularização baseada na técnica de espaço de Hilbert com núcleo reprodutor (RKHS) e mostramos que o modelo regularizado é bem posto. Além disso, provamos a propagação do caos. Demonstramos numericamente que um modelo assim regularizado é capaz de replicar perfeitamente os preços das opções provenientes de modelos de volatilidade local típicos. Nossos resultados também são aplicáveis a equações McKean–Vlasov mais gerais.