A Bifiltração Dual de Cech

Na análise de dados topológicos (TDA), um desafio de longa data é reconhecer estruturas geométricas subjacentes em dados ruidosos. Um exemplo motivador é a forma de uma nuvem de pontos no espaço euclidiano dada pela imagem. Carlsson et al. propuseram um método para detectar características topológicas em nuvens de pontos filtrando primeiro por densidade e, em seguida, aplicando homologia persistente. Posteriormente, métodos mais refinados foram desenvolvidos, como o complexo Rips de grau de Lesnick e Wright e a bifiltração multicover. Neste artigo, introduzimos a bifiltração dual de Cech, um bicomplexo estável de Prohorov de uma nuvem de pontos em um espaço métrico com a própria nuvem de pontos como conjunto de vértices. Este é do mesmo tipo de homotopia que a bifiltração Measure Dowker de Hellmer e Spaliński, mas possui um conjunto de vértices diferente. A bifiltração dual de Cech pode ser construída tanto de maneira ambiente quanto intrínseca. A bifiltração dual de Cech intrínseca é um (1, 2) -entrelaçado com a bifiltração dual de Cech ambiente no parâmetro de distância. Este entrelaçamento pode ser usado para aproveitar um resultado de estabilidade para a bifiltração dual de Cech definida intrinsecamente. Este resultado de estabilidade ocorreu recentemente em trabalho de Hellmer e Spaliński.