Unicidade quando a curvatura Lₚ está próxima de ser uma constante para p [0, 1)

Resumo Para um inteiro positivo fixo n, p 0, 1) p ∈ [ 0, 1), a (0, 1) a ∈ (0, 1), provamos que se uma função g: {S}^n-1 {R} g: S n - 1 → R está suficientemente próxima de 1, no sentido Cᵃ, então existe um corpo convexo único K cuja função de curvatura Lₚ L p é igual a g. Isso foi estabelecido anteriormente para n=3, p=0 por Chen et al. (Adv Math 411 (A): 108782, 2022) e no caso simétrico por Chen et al. (Adv Math 368: 107166, 2020). De forma relacionada, mostramos que se p=0 e n=4 ou n ≤ 3 e p ∈ [0, 1), e a função de curvatura Lₚ g de um corpo convexo K (suficientemente regular, contendo a origem) satisfaz ^-1 g λ - 1 ≤ g ≤ λ, para algum λ > 1, então ₗ {ₒ^n-1}hK (x) C (p, ) max x ∈ S n - 1 h K (x) ≤ C (p, λ), para alguma constante C (p, ) > 0 que depende apenas de p e λ. Isso também estende um resultado de Chen et al. [10. Ao longo do caminho, obtemos um resultado que pode ser de interesse independente, sobre a questão de quando o suporte da medida da área superficial Lₚ é de dimensão inferior. Finalmente, estabelecemos um forte resultado de não unicidade para o problema Lₚ L p -Minkowski, para -n p 0.