Sobre anéis locais de tipo de representação de syzygy finita

Seja R um anel local commutativo de Noether. Damos uma caracterização de quando a completude de R possui uma singularidade isolada. Este resultado melhora simultaneamente um teorema de Dao e Takahashi e um teorema de Bahlekeh, Hakimian, Salarian e Takahashi. Como aplicação, fortalecemos o teorema de Auslander-Huneke-Leuschke-Wiegand na forma refinada por Dao e Takahashi. Investigamos ainda a ascensão e descida dos tipos de representação de syzygy finita e contável ao longo do mapa canônico de R para sua completude. Como consequência, obtemos uma resposta afirmativa completa para a conjectura de Schreyer. Também exploramos análogos das perguntas de Chen no contexto de tipo de representação Cohen-Macaulay finito sobre anéis Cohen-Macaulay. O principal resultado nessa direção mostra que se R é Cohen-Macaulay e há apenas um número finito de módulos máximos Cohen-Macaulay indecomponíveis não isomórficos que são livre localmente no espectro puncturado, então ou R é uma hipersuperfície ou todo módulo projectivo Gorenstein é projectivo, e todo módulo projectivo Gorenstein sobre a completude de R é uma soma direta de módulos gerados finitamente. Finalmente, estudamos anéis locais dominantes, introduzidos por Takahashi, sob certas condições de tipo de representação finito, e identificamos uma nova classe de anéis virtualmente Gorenstein.