Uma Introdução Suave aos Espaços CAT(0)

Neste projeto, exploramos a geometria de espaços métricos gerais, onde não temos necessariamente as ferramentas da geometria diferencial ao nosso lado. Alguns espaços métricos (X, d) nos permitem definir geodésicas, permitindo-nos comparar triângulos geodésicos em (X, d) com triângulos geodésicos em um chamado espaço modelo. Nos Capítulos 1 e 2, primeiro discutimos como definir o comprimento das curvas e das geodésicas em (X, d), e depois usamos isso para retratar a noção de "curvatura não positiva" para um espaço métrico. O Capítulo 3 se ocupa de casos especiais de tais espaços métricos de curvatura não positiva, chamados de espaços CAT (0). Estes satisfazem propriedades particularmente boas, como serem geodésicos únicos, contráteis e terem uma métrica convexa, entre outras. Seguindo principalmente o livro de Martin R. Bridson e André Haefliger, com algumas diferenças. Primeiramente, restringimo-nos a usar o plano euclidiano E² como nosso espaço modelo, que é tudo o que é necessário para definir espaços CAT (0). Em segundo lugar, pulamos muitas seções do livro mencionado, pois muitas não são relevantes para nossos propósitos específicos. Finalmente, adicionamos detalhes a algumas das provas, que podem ser escassas em detalhes ou completamente inexistentes na literatura original. Dessa forma, esperamos criar uma introdução mais simplificada, autossuficiente e acessível aos espaços CAT (0).