Efeitos de suavização e extinção em tempo finito para difusões rápidas fracionárias em variedades de Riemann

Estudamos soluções não negativas para o problema de Cauchy da Equação de Difusão Rápida Fracionária em uma classe apropriada de variedades de Riemann conectadas e não compactas. Esta equação parabólica é ao mesmo tempo singular e não local: a difusão é impulsionada pelo Laplaciano fracionário (espectral) na variedade, enquanto a não linearidade é uma potência côncava que torna a difusão singular, de modo que as soluções perdem massa e podem extinguir em tempo finito. A existência de soluções brandas segue das técnicas padrão de semigrupos não lineares atuais, e usamos essas soluções como blocos de construção para uma classe mais geral de chamadas soluções duais fracas, que permitem dados tanto no espaço habitual L¹ quanto em um espaço ponderado maior, determinado em termos da função de Green fracionária. Focamo-nos em particular em estimativas de suavização a priori (também em espaços Lᵖ ponderados) para uma classe bastante ampla de soluções duais fracas. Também mostramos limites inferiores pontuais para as soluções, demonstrando em particular que as soluções têm velocidade de propagação infinita. Finalmente, iniciamos o estudo de como as soluções se extinguem em tempo finito, fornecendo taxas de extinção afiados adequadas.