Todo triângulo é uma trajetória de um bilhar elíptico?

Usando o Teorema de Marden da teoria geométrica dos polinômios, mostramos que para todo triângulo existe uma única elipse tal que o triângulo é uma trajetória de bilhar dentro dessa elipse. Como as trajetórias 3-periódicas de bilhares dentro de elipses são exemplos dos polígonos de Poncelet, nossas considerações fornecem um novo entendimento sobre a relação entre o Teorema de Marden e o Porisma de Poncelet, duas joias de beleza clássica excepcional. Também mostramos que todo paralelogramo é uma trajetória de bilhar dentro de uma elipse única. Provamos um resultado semelhante para as linhas poligonais auto-intersectantes consistindo de dois pares de lados congruentes, chamadas de “borboletas de Darboux”. Em cada um dos três casos considerados, calculamos efetivamente os focos das elipses de contorno.